Sur la stabilisation des systèmes fractionnaires par l’approche d’une nouvelle extension de la méthode directe de Lyapunov fractionnaire

Abstract

L'objectif de ce mémoire est d'étudier la stabilisation des systèmes fractionnaires par l’approche d’une nouvelle extension de la méthode directe de Lyapunov fractionnaire. Dans le premier chapitre, et dans un premier temps, nous rappelons dans la première section les principales notions de base du calcul fractionnaire. Ensuite, nous consacrons le reste de ce chapitre aux études des différentes définitions mathématiques relatives aux dérivations et intégrations d'ordre fractionnaire ainsi que leurs propriétés. Dans le deuxième chapitre, nous visons à aborder le problème d'existence et d'unicité des solutions des équations différentielles fractionnaires de type de Caputo. Ensuite, nous consacrons la deuxième section de ce chapitre à la résolution numérique de ces équations. Le troisième chapitre constitue véritablement l'objet de notre sujet. L'objectif de ce chapitre porte principalement sur la stabilisation asymptotique des systèmes fractionnaires. Dans un premier temps, nous présente une nouvelle propriété pour les dérivées fractionnaires au sens de Caputo, qui permet de trouver une fonction candidate de Lyapunov simple pour de nombreux systèmes d'ordre fractionnaire, et par conséquent la preuve de leur stabilité, en utilisant l'extension de la méthode directe de Lyapunov d'ordre fractionnaire. Deux exemples numériques sont utilisés dans ce chapitre pour illustrer nos résultats.